Поместим в вершины многоугольникаA₁...A_nединичные массы. Тогда O — центр масс данной системы точек. Поэтому$\overrightarrow{A_iO}$= ($\overrightarrow{A_iA_1}$+...+$\overrightarrow{A_iA_n}$)/nи A_iO$\le$(A_iA₁+...+A_iA_n)/n. Следовательно,d=A₁O+...+A_nO$\le$${\frac{1}{n}}$$\sum\limits_{i,j=1}^{}$A_iA_j. Число nможно записать либо в видеn= 2m, либо в видеn= 2m+ 1. Пусть P — периметр многоугольника. Ясно, чтоA₁A₂+...+A_nA₁=P,A₁A₃+A₂A₄+...+A_nA₂$\le$2P,...,A₁A_{m + 1}+A₂A_{m + 2}+...+A_nA_m$\le$mP, причем в левых частях этих неравенств встречаются все стороны и диагонали. Так как в сумму$\sum\limits_{i,j=1}^{n}$A_iA_jвсе они входят дважды, то

При nчетном это неравенство можно усилить за счет того, что в этом случае в суммуA₁A_{m + 1}+...+A_nA_{m + n}каждая диагональ входит дважды, т. е. вместоmPможно взятьmP/2. Значит, при nчетномТаким образом, при nчетномd$\le$${\frac{m^2}{n}}$ P=${\frac{n}{4}}$P, а при nнечетномd$\le$${\frac{m(m+1)}{n}}$ P=${\frac{n^2-1}{4n}}$ P.

Ответ задачи отсутствует