Задание олимпиады по планиметрии: гипотенуза через отрезки на перпенди
Задача
Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведён к ней перпендикуляр. Отрезок этого перпендикуляра, заключённый внутри треугольника, равен c, а отрезок, заключённый между одним катетом и продолжением другого, равен 3c. Найдите гипотенузу.
Решение
Пусть M – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, N и K – точки пересечения перпендикуляра к AB, проходящего через точку M, с катетом AC и продолжением катета BC соответственно. Обозначим AM = BM = x. В силу очевидного подобия треугольников AMN и KMB
∠BKM = ∠BAC = α, поэтому MN : AM = BM : MK, или c/x = x/4c, откуда x = 2c. Следовательно, AB = 2x = 4c.
Ответ
4c.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет