Пусть AL, BE и CF – биссектрисы треугольника ABC, K – точка пересечения отрезков EF и AL, M и N – точки пересечения прямой, проходящей через точку K параллельно BC, со сторонами AB и AC соответственно. Обозначим  BC = a,  AC = b,  AB = c.

  Поместим в вершины B и C массы b и c соответственно, а в вершину A – массу 2a. Центр тяжести этой системы материальных точек, с одной стороны, совпадает с центром тяжести системы точек M и N с массами  a + b  и  a + c  соответственно, а с другой стороны, – с центром тяжести системы точек A и L с массами 2a и  b + c  соответственно. Отсюда следует, что общий центр тяжести – точка K – делит отрезок AL в отношении  AK : KL = (b + c) : 2a.  Следовательно,  k = ^AK/_AL = ^b+c/_2a+b+c.

  Из подобия треугольников AMN и ABC следует, что  MN = ka,  BM + CN = b(1 – k) + c(1 – k) = ^2a(b+c)/_2a+b+c = 2ka.

Ответ задачи отсутствует