Задача
В треугольнике ABC стороны AC и BC не равны. Докажите, что биссектриса угла C делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины C, тогда и только тогда, когда $\angle$C = 90o.
Решение
Пусть T — середина AB. Опишем окружность около треугольника ABC. Продолжения высоты, биссектрисы и медианы пересекают эту окружность в точках H, Q и M соответственно.
Необходимость.
Поскольку дуги AH и MB равны, то
HM || AB. Поэтому
$\angle$CHM = 90o и CM — диаметр окружности. Поскольку точки Q и T
равноудалены от концов отрезка AB, то QT — серединный
перпендикуляр к стороне AB, поэтому T — центр окружности.
Следовательно, AB — также диаметр.
Достаточность.
Пусть угол C — прямой. Тогда CM — диаметр,
угол CHM — прямой. Поэтому
HM || AB. Отсюда следует, что
$\displaystyle \cup$ AH = $\displaystyle \cup$ MB, $\displaystyle \angle$ACH = $\displaystyle \angle$MCB.
Поэтому$\angle$HCQ=$\angle$MCQ.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет