Предположим, что среди данных пуговиц нет 11 пуговиц разных цветов. Тогда каждая пуговица окрашена в один из 10 цветов. Если пуговиц каждого цвета не более десяти, то всего пуговиц не более 100, и это противоречит условию. Таким образом, пуговиц какого-то одного цвета не менее 11, что и нужно было показать. Отметим, что утверждение задачи становится неверным в том случае, если изначально даны 100 пуговиц.

Ответ задачи отсутствует