Олимпиадные задачи по математике для 3-7 класса - сложность 5 с решениями

Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.

Двое играют в «крестики–нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). На рисунке изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода. Докажите, что как бы ни играл первый игрок, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому было некуда поставить крестик. Исследуйте аналогичные игры, в которых второму разрешено за один ход ставить не три, а...

Разрежьте разносторонний треугольник на 7 равнобедренных, три из которых равны.

Разрежьте произвольный тупоугольный треугольник на 7 остроугольных.

Можно ли какой-нибудь невыпуклый 5-угольник разрезать на два равных 5-угольника?

Разрежьте квадрат на 8 остроугольных треугольников.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.