Олимпиадные задачи по математике - сложность 3-5 с решениями

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle B=\angle D$. Докажите, что середина диагонали $BD$ лежит на общей внутренней касательной к окружностям, вписанным в треугольники $ABC$ и $ACD$.

Дан отрезок $AB$. Точки $X, Y, Z$ в пространстве выбираются так, чтобы $ABX$ был правильным треугольником, а $ABYZ$ – квадратом.

Докажите, что ортоцентры всех получающихся таким образом треугольников $XYZ$ попадают на некоторую фиксированную окружность.