Олимпиадные задачи по математике для 4-10 класса - сложность 3 с решениями
В треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AH</i><sub>1</sub>, <i>BH</i><sub>2</sub> и <i>CH</i><sub>3</sub>. Точка <i>M</i> – середина отрезка <i>H</i><sub>2</sub><i>H</i><sub>3</sub>. Прямая <i>AM</i> пересекает отрезок <i>H</i><sub>2</sub><i>H</i><sub>1</sub> в точке <i>K</i>.
Докажите, что точка <i>K</i> принадлежит средней линии треугольника <i>ABC</i>, параллельной <i>AC</i>.
На стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> взята произвольная точка <i>D</i>. Через <i>D</i> и <i>A</i> проведены окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> так, что прямая <i>BA</i> касается ω<sub>1</sub>, прямая <i>CA</i> касается ω<sub>2</sub>. <i>BX</i> – вторая касательная, проведённая из точки <i>B</i> к окружности ω<sub>1</sub>, <i>CY</i> – вторая касательная, проведённая из точки <i>C</i> к окружности ω<sub>2</sub>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>XDY</i> касается прямой <i>BC</i>.