Олимпиадные задачи по математике для 1-11 класса

  Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдёт в  37·⁴⁰/₁₀₀ = 14,8  и будет округлена до 15.)

  Студенты Петя и Вася получили оценки <i>a</i> и <i>b</i>, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчётов так, чтобы у Пети стала оценка <i>b</i>, а у Васи – оценка <i>a</i>...