Олимпиадные задачи по математике для 4-9 класса

Назовём пару  ($m, n$)  различных натуральных чисел $m$ и <i>n хорошей</i>, если $mn$ и  $(m + 1)(n + 1)$  – точные квадраты. Докажите, что для каждого натурального $m$ существует хотя бы одно такое  $n > m$,  что пара  ($m, n$)  хорошая.

Можно ли данную фигуру («верблюда») разбить

а) по линиям сетки;

б) не обязательно по линиям сетки

на 3 части, из которых можно сложить квадрат? <img align="center" src="/storage/problem-media/66528/problem_66528_img_2.png">

Фигурки из четырёх клеток называются тет- рамино. Они бывают пяти видов (см. рис.). Существует ли такая фигура, что при любом выборе вида тетрамино эту фигуру можно составить, используя тетраминошки только выбранного вида? (Переворачивать тетраминошки можно.) <div align="center"><img align="middle" src="/storage/problem-media/66384/problem_66384_img_2.png"></div>

Можно ли нарисовать на клетчатой бумаге многоугольник и поделить его на две равные части разрезом такой формы, как показано на рисунке

  а) слева;  б) в центре;  в) справа? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66110/problem_66110_img_2.gif"></div>(Во всех пунктах разрез лежит внутри многоугольника, на границу выходят только концы разреза. Стороны многоугольника и звенья разреза идут по линиям сетки, маленькие звенья в два раза короче больших.)