Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2-5 с решениями
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина $BC$, $P$ – ближайшая к $A$ точка пересечения луча $AM$ и вписанной окружности треугольника, $Q$ – дальняя от $A$ точка пересечения луча $AM$ и вневписанной окружности. Касательная к вписанной окружности в точке $P$ пересекает $BC$ в точке $X$, а касательная к вневписанной окружности в точке $Q$ пересекает $BC$ в точке $Y$. Докажите, что $MX=MY$.
Дан вписанный пятиугольник $APBCQ$. Точка $M$ внутри треугольника $ABC$ такова, что $\angle MAB=\angle MCA$, $\angle MAC=\angle MBA$ и $\angle PMB=\angle QMC=90^{\circ}$. Докажите, что прямые $AM$, $BP$ и $CQ$ пересекаются в одной точке.
В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$, $I$ – центр вписанной окружности, $N$ – вторая точка пересечения прямой $AI$ с $\Omega$, $E$ – точка касания стороны $BC$ с соответствующей вневписанной окружностью, $Q$ – вторая точка пересечения окружности $IMN$ с прямой, проходящей через $I$ и параллельной $BC$. Докажите, что прямые $AE$ и $NQ$ пересекаются на $\Omega$.
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ $H$ – ортоцентр. Биссектриса угла $BHC$ пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Перпендикуляры, восставленные к $AB$ и $AC$ из $P$ и $Q$, пересекаются в точке $K$. Докажите, что прямая $KH$ делит отрезок $BC$ пополам.
Диагонали трапеции <i>ABCD</i> перпендикулярны. Точка <i>M</i> – середина боковой стороны <i>AB</i>, точка <i>N</i> симметрична центру описанной окружности треугольника <i>ABD</i> относительно прямой <i>AD</i>. Докажите, что ∠<i>CMN</i> = 90°.
Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>. Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?