Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 1-4 с решениями
Обсуждая в классе зимние каникулы, Саша сказал: "Теперь, после того как я слетал в Аддис-Абебу, я встречал Новый год во всех возможных полусферах Земли, кроме одной!"
В каком минимальном количестве мест встречал Новый год Саша?
Места, где Саша встречал Новый год, считайте точками на сфере. Точки на границе полусферы не считаются принадлежащими этой полусфере.
Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, пересекающая прямые <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>L<sub>a</sub>, L<sub>b</sub>, L<sub>c</sub></i>. Перпендикуляр, восставленный из точки <i>L<sub>a</sub></i> к <i>BC</i>, пересекает <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A<sub>b</sub></i> и <i>A<sub>c</sub></i> соответственно. Точка <i>O<sub>a</sub></i> – центр описанной окружности треугольника <i>AA<sub>b</sub>A<sub>c</sub></i>. Аналогично определим <i>O<sub>b</sub></i> и <i>O<sub>c</sub></i>. Докажите,...
Точки <i>I<sub>A</sub>, I<sub>B</sub>, I<sub>C</sub></i> – центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>, касающихся сторон <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> соответственно. Перпендикуляр, опущенный из <i>I<sub>A</sub></i> на <i>AC</i>, пересекает перпендикуляр, опущенный из <i>I<sub>B</sub></i> на <i>BC</i>, в точке <i>X<sub>C</sub></i>. Аналогично определяются точки <i>X<sub>A</sub></i> и <i>X<sub>B</sub></i>. Докажите, что прямые <i>I<sub>A</sub>X<sub>A</sub>, I<sub>B</sub>X<sub>B</sub><...
В треугольнике <i>ABC</i> серединный перпендикуляр к <i>BC</i> пересекает прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A<sub>B</sub></i> и <i>A<sub>C</sub></i> соответственно. Обозначим через <i>O<sub>a</sub></i> центр описанной окружности треугольника <i>AA<sub>B</sub>A<sub>C</sub></i>. Аналогично определим <i>O<sub>b</sub></i> и <i>O<sub>c</sub></i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>O<sub>a</sub>O<sub>b</sub>O<sub>c</sub></i> касается описанной окружности исходного треугольника.
Дан фиксированный треугольник <i>ABC</i>. По его описанной окружности движется точка <i>P</i> так, что хорды <i>BC</i> и <i>AP</i> пересекаются. Прямая <i>AP</i> разрезает треугольник <i>BPC</i> на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через <i>I</i><sub>1</sub> и <i>I</i><sub>2</sub> соответственно. Прямая <i>I</i><sub>1</sub><i>I</i><sub>2</sub> пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>Z</i>. Докажите, что все прямые <i>ZP</i> проходят через фиксированную точку.