Олимпиадные задачи по математике для 7-11 класса - сложность 4 с решениями
Найдите хоть одно вещественное число $A$ со свойством: для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части числа $A^n$ до ближайшего квадрата целого числа равно 2. (Верхняя целая часть числа $x$ – наименьшее целое число, не меньшее $x$.)
<i>Верхней целой частью</i>числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Существует ли такое число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2?
<i>Верхней целой частью</i>числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>A'</i> – точка, симметричная <i>A</i> относительно <i>BC, O<sub>A</sub></i> – центр окружности, проходящей через <i>A</i> и середины отрезков <i>A'B</i> и <i>A'C</i>. Точки <i>O<sub>B</sub></i> и <i>O<sub>C</sub></i> определяются аналогично. Найдите отношение радиусов описанных окружностей треугольников <i>ABC</i> и <i>O<sub>A</sub>O<sub>B</sub>O<sub>C</sub></i>.