Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3 с решениями
На микросхеме $2025$ различных элементов, некоторые пары из которых соединены проводами. Жора хочет раскидать элементы по $n$ платам так, чтобы никакие два элемента одной платы не были соединены проводами. Жора посчитал, что если плат будет всего две, то у него будет $2$ способа, а если плат $2025$ – то $2025~\cdot~2024^{2024}$ способов. Сколько проводов на микросхеме? <i>Все элементы и все платы разные, какие-то из плат могут не содержать элементов. Способы считаются разными, если хотя бы один элемент в способах находится на разных платах.</i>
В игре Тантрикс-солитер возможны фишки 14 типов:<img src="/storage/problem-media/66767/problem_66767_img_2.png"> Каждую из них можно поворачивать, но нельзя переворачивать: именно поэтому первые 2 фишки разные – их нельзя получить друг из друга поворотом. Их разрешается прикладывать друг к другу так, чтобы линии одного цвета были продолжениями друг друга. У Саши было по одной фишке каждого типа, и он мог выложить их так, чтобы все синие линии образовывали «петлю», и при этом чтобы в картинке не было «дырок»: <img src="/storage/problem-media/66767/problem_66767_img_3.png"> Саша потерял фишку <img src="/storage/problem-media/66767/problem_66767_img_4.png">. Докажите, что теперь он не сможет выложить оставшиеся 13 фишек так, чтобы в картинке не...
На сторонах <i>AB</i>, <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>C</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> соответственно, что <i>BB</i><sub>1</sub> ⊥ <i>CC</i><sub>1</sub>. Точка <i>X</i> внутри треугольника такова, что
∠<i>XBC</i> = ∠<i>B</i><sub>1</sub><i>BA</i>, ∠<i>XCB</i> = ∠<i>C</i><sub>1</sub><i>CA</i>. Докажите, что ∠<i>B</i><sub>1</sub><i>XC</i><sub>1</sub> = 90° – ∠<i>A</i>.