Олимпиадные задачи по математике для 7-10 класса - сложность 2-5 с решениями

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>D</i>. В угол <i>ADC</i> вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника <i>ACD</i>, а в угол <i>BDC</i> – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника <i>BCD</i>. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка <i>CD</i> в одной и той же точке <i>X</i>. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из <i>X</i> на <i>AB</i>, проходит через центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.