Олимпиадные задачи по математике - сложность 4-5 с решениями

Пусть $E$ – проекция вершины $C$ прямоугольника $ABCD$ на диагональ $BD$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям $AEB$ и $AED$ пересекаются на окружности $AEC$.

Дан тетраэдр $ABCD$. Прямая $\ell$ пересекает плоскости $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ в точках $D_0$, $A_0$, $B_0$, $C_0$ соответственно. Пусть $P$ – произвольная точка, не лежащая на прямой $\ell$ и в плоскостях граней тетраэдра, а $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – вторые точки пересечения прямых $PA_0$, $PB_0$, $PC_0$, $PD_0$ со сферами $PBCD$, $PCDA$, $PDAB$, $PABC$ соответственно. Докажите, что $P$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на одной окружности.

Пусть $P$ – произвольная точка на стороне $BC$ треугольника $ABC$, $K$ – центр вписанной окружности треугольника $PAB$, а $F$ – точка касания вписанной окружности треугольника $PAC$ со стороной $BC$. Точка $G$ на $CK$ такова, что $FG\parallel PK$. Найдите геометрическое место точек $G$.