Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 2-4 с решениями
Банкомат обменивает монеты: дублоны на пистоли и наоборот. Пистоль стоит <i>s</i> дублонов, а дублон – <sup>1</sup>/<i><sub>s</sub></i> пистолей, где <i>s</i> не обязательно целое. В банкомат можно вбросить любое число монет одного вида, после чего он выдаст в обмен монеты другого вида, округляя результат до ближайшего целого числа (если ближайших чисел два, выбирается большее). а) Может ли так быть, что обменяв сколько-то дублонов на пистоли, а затем обменяв полученные пистоли на дублоны, мы получим больше дублонов, чем было вначале? б) Если да, то может ли случиться, что полученное число дублонов ещё увеличится, если проделать с ними такую же операцию?
Существуют ли такие две функции <i>f</i> и <i>g</i>, принимающие только целые значения, что для любого целого <i>x</i> выполнены соотношения:
а) <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x, g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = <i>x, f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) > <i>x, g</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) > <i>x</i>?
б) <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) < <i>x, g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) < <i>x</i>, <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) > <i>x, g</i>(<i>f</i>(<i>x&...