Олимпиадные задачи по математике для 4-8 класса - сложность 3 с решениями
Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BB_1$ пересекает прямые $AA_1$, $CC_1$ в точках $A_0$, $C_0$. Докажите, что описанные окружности треугольников $A_0IC_0$ и $ABC$ касаются.
Дан треугольник <i>ABC</i>. На его сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> зафиксированы точки <i>C</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub> соответственно. Найдите на описанной окружности треугольника <i>ABC</i> такую точку <i>P</i>, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников <i>APC</i><sub>1</sub> и <i>CPA</i><sub>1</sub> минимально.