Олимпиадные задачи по математике для 9 класса - сложность 3 с решениями
Назовем приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами <i>сносным</i>, если его корни – целые числа, а коэффициенты не превосходят по модулю 2013. Вася сложил все сносные квадратные трёхчлены. Докажите, что у него получился трёхчлен, не имеющий действительных корней.
Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им <i>k</i> целых чисел <i>n</i><sub>1</sub>, <i>n</i><sub>2</sub>, ..., <i>n<sub>k</sub></i> и отдельно сообщит значение выражения <i>P</i>(<i>n</i><sub>1</sub>)<i>P</i>(<i>n</i><sub>2</sub>)...<i>P</i>(<i>n<sub>k</sub></i>). По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем <i>k</i> учитель сможет составить задач...
Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>AB</i> и <i>DC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Оказалось, что точки <i>B</i>, <i>D</i>, а также середины <i>M</i> и <i>N</i> отрезков <i>AC</i> и <i>KC</i> лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол <i>ADC</i>?