Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 4 с решениями
В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями <i>x ± y ± z = n</i> (при всех целых <i>n</i>). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка (<i>x</i><sub>0</sub>, <i>y</i><sub>0</sub>, <i>z</i><sub>0</sub>) с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное <i>k</i>, при котором точка (<i>kx</i><sub>0</sub>, <i>ky</i><sub>0</sub>, <i>kz</i><sub>0</sub>) лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.