Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2 с решениями
Окружность $\omega$ касается прямых $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Произвольная касательная к $\omega$ пересекает $a$ и $b$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Точки $X'$ и $Y'$ симметричны точкам $X$ и $Y$ относительно $A$ и $B$ соответственно. Найдите геометрическое место проекций центра окружности на $X'Y'$.
Дан вписанный $n$-угольник. Оказалось что середины всех его сторон лежат на одной окружности. Стороны $n$-угольника отсекают от этой окружности $n$ дуг, лежащих вне $n$-угольника. Докажите, что эти дуги можно покрасить в красный и синий цвет так, чтобы сумма длин красных дуг равнялась сумме длин синих.
Дан правильный семиугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub><i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub><i>A</i><sub>7</sub>. Прямые <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> и <i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub> пересекаются в точке <i>X</i>, а прямые <i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>5</sub> и <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>6</sub> – в точке <i>Y</i>.
Докажите,...
Внутри угла <i>AOD</i> проведены лучи <i>OB</i> и <i>OC</i>, причём ∠<i>AOB</i> = ∠<i>COD</i>. В углы <i>AOB</i> и <i>COD</i> вписаны непересекающиеся окружности.
Докажите, что точка пересечения общих внутренних касательных к этим окружностям лежит на биссектрисе угла <i>AOD</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64339/problem_64339_img_2.gif"></div>