Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 3 с решениями
Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Окружность с центром в точке $E$ лежит внутри прямоугольника. Из вершин $C$, $D$, $A$ проведены касательные к окружности $CF$, $DG$, $AH$, причем $CF$ пересекает $DG$ в точке $I$, $EI$ пересекает $AD$ в точке $J$, а прямые $AH$ и $CF$ пересекаются в точке $L$. Докажите, что отрезок $LJ$ перпендикулярен $AD$.
В равнобедренной трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i> диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> перпендикулярны. Из точки <i>D</i> опущен перпендикуляр <i>DE</i> на сторону <i>AB</i>, а из точки <i>C</i> – перпендикуляр <i>CF</i> на прямую <i>DE</i>. Докажите, что ∠<i>DBF</i> = ½ ∠<i>FCD</i>.
На стороне <i>AD</i> квадрата <i>ABCD</i> во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник <i>AED</i>. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр <i>AF</i>, на стороне <i>CD</i> выбрана точка <i>G</i> так, что <i>CG = DF</i>. Докажите, что угол <i>BGE</i> меньше половины угла <i>AED</i>.
Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, в котором <i>AC = BD = AD</i>; точки <i>E</i> и <i>F</i> – середины <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно; <i>O</i> – точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что <i>EF</i> проходит через точки касания вписанной окружности треугольника <i>AOD</i> с его сторонами <i>AO</i> и <i>OD</i>.
Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой <i>AC</i>, проведена биссектриса треугольника <i>BD</i>; отмечены середины <i>E</i> и <i>F</i> дуг <i>BD</i> окружностей, описанных около треугольников <i>ADB</i> и <i>CDB</i> соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.