Олимпиадные задачи по математике для 1-8 класса
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. На продолжениях <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> его высот за точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> выбраны соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что угол <i>PAQ</i> – прямой. Пусть <i>AF</i> – высота треугольника <i>APQ</i>. Докажите, что угол <i>BFC</i> – прямой.
В неравнобедренном остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub>, <i>H</i> – точка пересечения высот, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>B</i><sub>0</sub> – середина стороны <i>AC</i>. Прямая <i>BO</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>P</i>, а прямые <i>BH</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямые <i>HB</i><sub>0</sub> и <i>PQ</i> параллельны.
Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.
В треугольнике $ABC$ через центр $I$ вписанной окружности $w$ провели прямую, параллельную стороне $BC$, до пересечения с вписанной окружностью в точках $A_B$ и $A_C$ ($A_B$ находится в той же полуплоскости относительно прямой $AI$, что и точка $B$). После этого нашли точку пересечения прямых $BA_B$ и $CA_C$ и обозначили её через $A_1$. Аналогично построили точки $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке.
Назовём точку на плоскости <i>узлом</i>, если обе её координаты целые числа. Дан треугольник с вершинами в узлах, внутри него расположено не меньше двух узлов. Докажите, что среди узлов внутри треугольника можно выбрать такие два узла, что проходящая через них прямая содержит одну из вершин треугольника или параллельна одной из сторон треугольника.
Будем называть точку плоскости <i>узлом</i>, если обе её координаты – целые числа. Внутри некоторого треугольника с вершинами в узлах лежит ровно два узла (возможно, какие-то еще узлы лежат на его сторонах). Докажите, что прямая, проходящая через эти два узла, либо проходит через одну из вершин треугольника, либо параллельна одной из его сторон.