Олимпиадные задачи по математике для 8 класса
В соревнованиях по <i>n</i>-борью участвуют 2<sup><i>n</i></sup> человек. Для каждого спортсмена известна его сила в каждом из видов программы. Соревнования проходят следующим образом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде программы и лучшая половина из них выходит в следующий круг. Эта половина принимает участие в следующем виде и половина из них выходит в следующий круг, и т.д., пока в <i>n</i>-м виде программы не будет определен победитель. Назовем спортсмена <i>возможным победителем</i>, если можно так расставить виды спорта в программе, что он станет победителем.
а) Докажите, что может так случиться, что хотя бы половина спортсменов является возможными победителями.
б) Докажите, что число возможных по...
Назовём <i>крокодилом</i> шахматную фигуру, ход которой заключается в прыжке на <i>m</i> клеток по вертикали или по горизонтали, и потом на <i>n</i> клеток в перпендикулярном направлении. Докажите что для любых <i>m</i> и <i>n</i> можно так раскрасить бесконечную клетчатую доску в два цвета (для каждых конкретных <i>m</i> и <i>n</i> своя раскраска), что каждые две клетки, соединённые одним ходом крокодила, будут покрашены в разные цвета.