Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 2-5 с решениями
Имеется 100-значное число, состоящее из единиц и двоек. Разрешается в любых десяти последовательных цифрах поменять местами первые пять с пятью следующими. Два таких числа называются<i>похожими</i>, если одно из них получается из другого несколькими такими операциями. Какое наибольшее количество попарно непохожих чисел можно выбрать?
Окружность разбита точками<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>,...,<i>A</i><sub><i>n</i></sub>на<nobr><i>n</i> равных</nobr>дуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дуги<i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>6</sub>и<i>A</i><sub>6</sub><i>A</i><sub>10</sub>одинаково окрашены.)Докажите, что если для каждой точки разбиения <i>A</i><sub><i>k</i><...
Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1, 9,<nobr>7, 3,</nobr>и<nobr>плохим —</nobr>в противном случае. (Например, число<nobr>197 639 917 —</nobr>плохое, а<nobr>116 519 732 —</nobr>хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное<nobr>число <i>n</i>,</nobr>что среди всех<i>n</i>-значных чисел<nobr>(от 10<sup><i>n</i> – 1</sup></nobr>до<nobr>10<sup><i>n</i></sup> – 1)</nobr>больше хороших, чем плохих.Постарайтесь найти возможно меньшее <nobr>такое <i>n</i>.</nobr>