Олимпиадные задачи по математике - сложность 1-5 с решениями

На бесконечном клетчатом листе белой бумаги<i>n</i>клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени<nobr><i>t</i> = 1,</nobr>2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка<i>k</i>приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки<i>k</i>и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то<i>k</i>становится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки. б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени <nobr><i>t</i> = <i>n</i>.</nobr>

Точка <i>K</i> лежит на стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что соотношение  <i>AK</i>² = <i>AB·AC – KB·KC</i>  выполнено тогда и только тогда, когда  <i>AB = AC</i>  или  ∠<i>BAK</i> = ∠<i>CAK</i>.