Задача
Точка K лежит на стороне BC треугольника ABC.
Докажите, что соотношение AK² = AB·AC – KB·KC выполнено тогда и только тогда, когда AB = AC или ∠BAK = ∠CAK.
Решение
Обозначим через D точку пересечения прямой AK с описанной окружностью треугольника ABC и возьмём на отрезке BC такую точку L, что ∠CAL = ∠KAB (см. рис.). Поскольку ∠ACB = ∠ADB, то треугольник ACL подобен треугольнику ADB, следовательно, AL·AD = AB·AC. Кроме того, BK·KC = AK·KD. Таким образом, равенство, данное в условии, эквивалентно следующему: AK² = AL·AD – AK·KD, или AK·(AK + KD) = AL·AD. Следовательно, AK = AL. Это значит, что либо точки K и L совпадают, то есть AK – биссектриса угла A, либо треугольник KAL равнобедренный, и тогда по теореме о внешнем угле треугольника ∠B = ∠AKC – ∠BAK = ∠ALB – ∠LAC = ∠C, то есть треугольник ABC – равнобедренный.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь