Олимпиадные задачи по математике для 11 класса

У входа в пещеру стоит барабан, на нём по кругу через равные промежутки расположены<i>N</i>одинаковых с виду бочонков. Внутри каждого бочонка лежит селёдка – либо головой вверх, либо головой вниз, но где как – не видно (бочонки закрыты). За один ход Али-Баба выбирает любой набор бочонков (от 1 до<i>N</i>штук) и переворачивает их все. После этого барабан приходит во вращение, а когда останавливается, Али-Баба не может определить, какие бочонки перевёрнуты. Пещера откроется, если во время вращения барабана все<i>N</i>селёдок будут расположены головами в одну сторону. При каких<i>N</i>Али-Баба сможет открыть пещеру?

Отмечено 100 точек – <i>N</i> вершин выпуклого <i>N</i>-угольника и  100 – <i>N</i>  точек внутри этого <i>N</i>-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами <i>N</i>-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника <i>XYZ</i> (<i>X, Y, Z</i> – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами <i>N</i>-угольника, и чтобы найти его площадь.