Олимпиадные задачи по математике для 6-8 класса

Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерёма – вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.

20 футбольных команд проводят первенство. В первый день все команды сыграли по одной игре. Во второй также все команды сыграли по одной игре.

Докажите, что после второго дня можно указать такие 10 команд, что никакие две из них не играли друг с другом.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AH, BK</i> и <i>CL</i>. Докажите, что  <i>AK·BL·CH = AL·BH·CK = HK·KL·LH</i>.