Олимпиадные задачи по математике для 5-9 класса - сложность 4 с решениями

Из вершины <i>C</i> прямого угла прямоугольного треугольника <i>ABC</i> проведена высота <i>CD</i>, и в треугольники <i>ACD</i> и <i>BCD</i> вписаны окружности с центрами <i>P</i> и <i>Q</i>. Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает катеты <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>, а высоту <i>CD</i> — в точке <i>K</i>. Докажите, что:

а) треугольники <i>CMN</i> и <i>CBA</i> подобны;

б) точки <i>C</i>, <i>M</i>, <i>N</i>, <i>P</i> и <i>Q</i> лежат на окружности с центром <i>K</i>, радиус которой равен радиусу впис...