Олимпиадные задачи по математике для 8 класса
Дана фиксированная хорда <i>MN</i> окружности, не являющаяся диаметром. Для каждого диаметра <i> AB </i> этой окружности, не проходящего через точки <i>M</i> и <i>N</i>, рассмотрим точку <i>C</i>, в которой пересекаются прямые <i>AM</i> и <i>BN</i>, и проведём через неё прямую <i>l</i>, перпендикулярную <i>AB</i>. Докажите, что все прямые <i>l</i> проходят через одну точку.
Для данной хорды <i>MN</i> окружности рассматриваются треугольники <i>ABC</i>, основаниями которых являются диаметры <i>AB</i> этой окружности, не пересекающие <i>MN</i>, а стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> проходят через концы <i>M</i> и <i>N</i> хорды <i>MN</i>. Докажите, что высоты всех таких треугольников <i>ABC</i>, опущенные из вершины <i>C</i> на сторону <i>AB</i>, пересекаются в одной точке.