Олимпиадные задачи по математике для 8-9 класса - сложность 3 с решениями
Любознательный турист хочет прогуляться по улицам Старого города от вокзала (точка <i>A</i> на плане) до своего отеля (точка <i>B</i>). Турист хочет, чтобы его маршрут был как можно длиннее, но дважды оказываться на одном и том же перекрестке ему неинтересно, и он так не делает. Нарисуйте на плане самый длинный возможный маршрут и докажите, что более длинного нет. <div align="center"><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111897/problem_111897_img_2.gif"></div>
а) В городе Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее десяти машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если её члены могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей? б) В Мехико для каждой частной автомашины устанавливается один день в неделю, в который она не может выезжать на улицы города. Состоятельная семья из десяти человек подкупила полицию, и для каждой машины они называют два дня, один из которых полиция выбирает в качестве невыездного дня. Какое наименьшее количество машин нужно купить семье, чтобы каждый день каждый член семьи мог самостоятельно ездить, если утверждение невыездных...
В белом клетчатом квадрате 2021×2021 требуется закрасить чёрным две клетки. После этого через каждую минуту одновременно закрашиваются чёрным все клетки, которые граничат по стороне хоть с одной из уже закрашенных. Ваня выбрал две начальные клетки так, чтобы весь квадрат закрасился как можно быстрее. Через сколько минут закрасился квадрат?
На конкурсе "А ну-ка, чудища!" стоят в ряд 15 драконов. У соседей число голов отличается на 1. Если у дракона больше голов, чем у обоих его соседей, его считают хитрым, если меньше, чем у обоих соседей, – сильным, остальных (в том числе стоящих с краю) считают обычными. В ряду есть ровно четыре хитрых дракона – с 4, 6, 7 и 7 головами и ровно три сильных – с 3, 3 и 6 головами. У первого и последнего драконов голов поровну.
а) Приведите пример того, как такое могло быть.
б) Докажите, что число голов у первого дракона во всех примерах одно и то же.