Олимпиадные задачи по математике для 11 класса

Куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i> сложен из единичных кубиков. Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная, каждое звено которой соединяет центры двух соседних (имеющих общую грань) кубиков. Назовём <i>отмёченными</i> грани кубиков, пересекаемые данной ломаной. Докажите, что рёбра кубиков можно окрасить в два цвета так, чтобы каждая отмеченная грань имела нечётное число, а всякая неотмеченная грань – чётное число сторон каждого цвета.

Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна 180°.

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.

Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции  <i>y = f</i>(<i>x</i>),  для которой  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x</i>² – 1996  при всех <i>x</i>.