Олимпиадные задачи по математике - сложность 1-3 с решениями

На собрание пришло <i>n</i> человек  (<i>n</i> > 1).  Оказалось, что у каждых двух из них среди собравшихся есть ровно двое общих знакомых.

  а) Докажите, что каждый из них знаком с одинаковым числом людей на этом собрании.

  б) Покажите, что <i>n</i> может быть больше 4.

От балки в форме треугольной призмы с двух сторон отпилили (плоской пилой) по куску. Спилы не задели ни оснований, ни друг друга.

  а) Могут ли спилы быть подобными, но не равными треугольниками?

  б) Может ли один спил быть равносторонним треугольником со стороной 1, а другой – равносторонним треугольником со стороной 2?

Египтяне вычисляли площадь выпуклого четырёхугольника по формуле(<i>a+c</i>)(<i>b+d</i>)<i>/</i>4, где<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i> — длины сторон в порядке обхода. Найдите все четырёхугольники, для которых эта формула верна.

На сторонах <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ так, что лучи <i>A</i>₁<i>A, B</i>₁<i>B</i> и <i>С</i>₁<i>C</i> являются биссектрисами углов треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>СС</i>₁ – высоты тре...