Олимпиадные задачи по математике для 7-8 класса - сложность 3 с решениями

Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.

Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий 200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в котором указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению, величину расходов, проследив за тем, чтобы общая сумма расходов не превысила заданную величину <i>S</i>. По каждой статье совет утверждает наибольшую величину расходов, которую согласны выделить не менее <i>k</i> депутатов. При каком наименьшем <i>k</i> можно гарантировать, что общая сумма утверждённых расходов не превысит <i>S</i>?

В классе организуется турнир по перетягиванию каната. В турнире ровно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из учащихся этого класса (кроме команды всего класса). Доказать, что каждая команда учащихся будет соревноваться с командой всех остальных учащихся класса.