Олимпиадные задачи по математике для 10 класса

В таблице

    0 1 2 3 ... 9

    9 0 1 2 ... 8

    8 9 0 1 ... 7

        ...

    1 2 3 4 ... 0

отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.

Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.

Через вершины <i>A</i> и <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> проведены две прямые, которые разбивают его на четыре фигуры (три треугольника и один четырёхугольник). Известно, что три из этих фигур имеют одинаковую площадь. Докажите, что одна из этих фигур – четырёхугольник.