Олимпиадные задачи по математике для 2-9 класса - сложность 4 с решениями

Клетчатый квадрат 2010×2010 разрезан на трёхклеточные уголки. Докажите, что можно в каждом уголке отметить по клетке так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали было поровну отмеченных клеток.

Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?

В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все50<i>· </i>70вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?

Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.

Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.

Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более2<i>N </i>(<i> N></i>3) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.<ol type="1"> <li>Для любых <i> N </i> векторов этого множества найдется еще такой <i> N-</i>1 вектор из этого множества, что сумма всех 2<i>N-</i>1 векторов равна нулю;

</li><li>для любых <i> N </i> векторов этого множества найдутся еще такие <i> N </i> векторов из этого множества, что сумма всех 2<i>N </i> векторов равна нулю. </li></ol>