Олимпиадные задачи по математике для 11 класса
У выпуклого многогранника2<i>n </i>граней (<i> n<img src="/storage/problem-media/110213/problem_110213_img_2.gif"> </i>3), и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?
Известно, что многочлен (<i>x</i> + 1)<sup><i>n</i></sup> – 1 делится на некоторый многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x<sup>k</sup> + c</i><sub><i>k</i>–1</sub><i>x</i><sup><i>k</i>–1</sup> + <i>c</i><sub><i>k</i>–2</sub><i>x</i><sup><i>k</i>–2</sup> + ... + <i>c</i><sub>1</sub><i>x + c</i><sub>0</sub> чётной степени <i>k</i>, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что <i>n</i> делится на <i>k</i> + 1.