Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 5 с решениями

За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран, по 4 представителя от каждой. Докажите, что их можно разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и никакие двое из одной группы не сидят за столом рядом.

Внутри выпуклого стоугольника выбрано<i> k </i>точек,2<i><img src="/storage/problem-media/109552/problem_109552_img_2.gif"> k<img src="/storage/problem-media/109552/problem_109552_img_2.gif"> </i>50. Докажите, что можно отметить2<i>k </i>вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри2<i>k </i>-угольника с отмеченными вершинами.

Пусть<i> ABCD </i>– вписанный четырёхугольник,<i> O </i>– точка пересечения диагоналей<i> AC </i>и<i> BD </i>. Пусть окружности, описанные около треугольников<i> ABO </i>и<i> COD </i>, пересекаются в точке<i> K </i>. Точка<i> L </i>такова, что треугольник<i> BLC </i>подобен треугольнику<i> AKD </i>. Докажите, что если четырёхугольник<i> BLCK </i>выпуклый, то он он является описанным.