Олимпиадные задачи по математике для 9 класса
В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?
В треугольнике<i> ABC </i>на стороне<i> BC </i>выбрана точка<i> M </i>так, что точка пересечения медиан треугольника<i> ABM </i>лежит на описанной окружности треугольника<i> ACM </i>, а точка пересечения медиан треугольника<i> ACM </i>лежит на описанной окружности треугольника<i> ABM </i>. Докажите, что медианы треугольников<i> ABM </i>и<i> ACM </i>из вершины<i> M </i>равны.
Даны <i>n</i> > 1 приведённых квадратных трёхчленов <i>x</i>² – <i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>, ..., <i>x</i>² – <i>a<sub>n</sub>x + b<sub>n</sub></i>, причём все 2<i>n</i> чисел <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub>, b</i><sub>1</sub>, ..., <i>b<sub>n</sub></i> различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub>, b</i><sub>1</sub>, ..., <i>b<sub>n</sub></i> является корнем одного из этих трёхчленов?
В треугольнике <i>ABC</i> (<i> AB < BC</i>) точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>M</i> – середина стороны <i>AC, N</i> – середина дуги <i> ABC </i> описанной окружности.
Докажите, что ∠<i>IMA</i> = ∠<i>INB</i>.