Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 7-10 класса - сложность 2 с решениями

В произведении семи натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 13 раз?

Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число  1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.

Окружность с центром <i>I</i> вписана в четырёхугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>BA</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а лучи <i>AD</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Известно, что точка <i>P</i> лежит на описанной окружности ω треугольника <i>AIC</i>. Докажите, что точка <i>Q</i> тоже лежит на окружности ω.

В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?

Вася задумал восемь клеток шахматной доски, никакие две из которых не лежат в одной строке или в одном столбце. За ход Петя выставляет на доску восемь ладей, не бьющих друг друга, а затем Вася указывает все ладьи, стоящие на задуманных клетках. Если количество ладей, указанных Васей на этом ходе, чётно (то есть 0, 2, 4, 6 или 8), то Петя выигрывает; иначе все фигуры снимаются с доски и Петя делает следующий ход. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть?

В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?