Олимпиадные задачи из источника «27 (2004)» для 9 класса - сложность 2-3 с решениями

Дан треугольник со сторонами <i>AB</i>=2,<i>BC</i>=3,<i>AC</i>=4. В него вписана окружность, и точка <i>M</i>касания окружности со стороной <i>BC</i>соединена с точкой <i>A</i>. В треугольники <i>AMB</i>и <i>AMC</i>вписаны окружности. Найти расстояние между точками их касания с прямой <i>AM</i>.

На доске было написано уравнение вида  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  с целыми ненулевыми коэффициентами <i>p</i> и <i>q</i>. Временами к доске подходили разные школьники, стирали уравнение, после чего составляли и записывали уравнение такого же вида, корнями которого являются коэффициенты стёртого уравнения. В какой-то момент составленное уравнение совпало с тем, что было написано на доске изначально. Какое уравнение изначально было написано на доске?

На острове все страны треугольной формы (границы прямые). Если две страны граничат, то по целой стороне. Докажите, что страны можно раскрасить в 3 цвета так, что соседние по стороне страны будут покрашены в разные цвета.

Эстафета длиной 2004 км состоит из нескольких этапов одинаковой длины, выражающейся целым числом километров. Участники команды города Энск бежали несколько дней, пробегая каждый этап ровно за один час. Сколько часов они бежали, если известно, что они уложились в неделю?