Олимпиадные задачи из источника «05 (1982)» для 2-11 класса - сложность 2 с решениями

Точка <i>M</i> внутри выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i> такова, что площади треугольников <i>ABM</i>, <i>BCM</i>, <i>CDM</i> и <i>DAM</i> равны. Верно ли, что <i>ABCD</i> — параллелограмм, а точка <i>M</i> — точка пересечения его диагоналей?

Для того, чтобы застеклить 15 окон различных размеров и форм, заготовлено 15 стекол в точности по окнам (окна такие, что в каждом окне должно быть одно стекло). Стекольщик, не зная, что стекла подобраны, работает так: он подходит к очередному окну и перебирает неиспользованные стекла до тех пор, пока не найдет достаточно большое (то есть либо в точности подходящее, либо такое, из которого можно вырезать подходящее), если же такого стекла нет, то переходит к следующему окну, и так, пока не обойдет все окна. Составлять стекло из нескольких частей нельзя. Какое максимальное число окон может остаться незастекленными?

а) Дано шесть натуральных чисел. Все они различны и дают в сумме 22. Найти эти числа и доказать, что других нет. б) Тот же вопрос про 100 чисел, дающих в сумме 5051.

В одной из вершин  а) октаэдра;  б) куба сидит муха. Может ли она проползти по всем его рёбрам ровно по одному разу и возвратиться в исходную вершину?

Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?