Олимпиадные задачи из источника «7 турнир (1985/1986 год)» для 11 класса - сложность 4 с решениями

а) Точка <i>O</i> лежит внутри выпуклого <i>n</i>-угольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃...<i>A_n</i>. Рассматриваются углы <i>A_iOA_j</i> при всевозможных парах  (<i>i, j</i>)  (<i>i, j</i> – различные натуральные числа от 1 до <i>n</i>). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере  <i>n</i> – 1  не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.б) То же для выпуклого многогранника, имеющего <i>n</i> вершин.

Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 30×30, и в ней участвуют 20 разных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, однако, что

  1) любая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей и

  2) если фигуру сдвинуть на несколько полей, то битые поля соответственно сдвигаются (может быть, исчезают за пределы поля).

Докажите, что

  а) любая фигура <i>F</i> бьёт данное поле <i>Х</i> не более, чем с 20 полей;

  б) можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.