Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 9-10 класс» для 5-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Выпуклой фигурой <i>F</i> нельзя накрыть полукруг радиуса <i>R</i>. Может ли случиться, что двумя фигурами, равными <i>F</i>, можно накрыть круг радиуса <i>R</i>?

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.

  Радиус <i>OM</i> круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол ^360°/_<i>N</i>  (<i>N</i> – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение <i>OM</i>₀, через секунду – <i>OM</i>₁, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – <i>OM</i>₂, ещё через три секунды после этого – <i>OM</i>₃, и т. д., ещё через  <i>N</i> – 1  секунду после <i>ОМ</i>_<i>N</i>–2  – <i>OM</i>_<i>N</i>–1.

  При каких <i>N...