Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 9-10 класс» для 2-8 класса - сложность 2-5 с решениями
весенний тур, основной вариант, 9-10 класс
НазадВ классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.
Радиус <i>OM</i> круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол <sup>360°</sup>/<sub><i>N</i></sub> (<i>N</i> – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение <i>OM</i><sub>0</sub>, через секунду – <i>OM</i><sub>1</sub>, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – <i>OM</i><sub>2</sub>, ещё через три секунды после этого – <i>OM</i><sub>3</sub>, и т. д., ещё через <i>N</i> – 1 секунду после <i>ОМ</i><sub><i>N</i>–2</sub> – <i>OM</i><sub><i>N</i>–1</sub>.
При каких <i>N...