Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 9-10 класс» для 8-9 класса - сложность 3-4 с решениями
осенний тур, основной вариант, 9-10 класс
НазадВ квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 и одна плитка 1×1.
Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границам квадрата.
В правильном десятиугольнике проведены все диагонали. Возле каждой вершины и возле каждой точки пересечения диагоналей поставлено число +1 (рассматриваются только сами диагонали, а не их продолжения). Разрешается одновременно изменить все знаки у чисел, стоящих на одной стороне или на одной диагонали. Можно ли с помощью нескольких таких операций изменить все знаки на противоположные?
Набор чисел <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, ..., <i>A</i><sub>100</sub> получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:
<i>B</i><sub>1</sub> = <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> = <i>A</i><sub>1</sub> + <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>3</sub> = <i>A</i><sub>1</sub> + <i>A</i><sub>2</sub> + <i>A</i><sub>3</sub>, ..., <i>B</i><sub>100</sub> = <i>A</i><sub>1</sub> + <i>A</i><sub>2...