Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, подготовительный вариант, 9-10 класс» для 7-9 класса - сложность 1-4 с решениями

а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоят солдатики. Ваня называет число <i>d</i>, а Петя переставляет солдатиков так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше <i>d</i> (расстояние берётся между центрами старой и новой клеток). При каких <i>d</i> это возможно?

б) Эта же задача для квадрата 21×21.

Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям).

Доказать, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.

175 шалтаев стоят дороже, чем 125 болтаев, но дешевле, чем 126 болтаев. Доказать, что на покупку трёх шалтаев и одного болтая не хватит:

  а)  80 коп.;

  б)  одного рубля.