Олимпиадные задачи из источника «устный тур»

В ряд слева направо стоят $N$ коробок, занумерованных подряд числами $1$, $2, \ldots, N$. В некоторые коробки, стоящие подряд, положат по шарику, оставив остальные пустыми. Инструкция состоит из последовательно выполняемых команд вида «поменять местами содержимое коробок № $i$ и № $j$», где $i$ и $j$ – числа. Для каждого ли $N$ существует инструкция, в которой не больше $100N$ команд, со свойством: для любой начальной раскладки указанного вида можно будет, вычеркнув из инструкции некоторые команды, получить инструкцию, после выполнения которой все коробки с шариками будут левее коробок без шариков?

Назовём рассадку $N$ кузнечиков на прямой в различные её точки $k$-<i>удачной</i>, если кузнечики, сделав необходимое число ходов по правилам чехарды, могут добиться того, что сумма попарных расстояний между ними уменьшится хотя бы в $k$ раз. При каких $N\geqslant2$ существует рассадка, являющаяся $k$-удачной сразу для всех натуральных $k$? (В чехарде за ход один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика.)

Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр его вписанной окружности, $P$ – такая точка на стороне $AB$, что угол $PIB$ прямой, $Q$ – точка, симметричная точке $I$ относительно вершины $A$. Докажите, что точки $C$, $I$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.

В таблице $44\times 44$ часть клеток синие, а остальные красные. Никакие синие клетки не граничат друг с другом по стороне. Множество красных клеток, наоборот, связно по сторонам (от любой красной клетки можно добраться до любой другой красной, переходя из клетки в клетку через общую сторону и не заходя в синие клетки). Докажите, что синих клеток в таблице меньше трети.

Существует ли целое $n>1$, удовлетворяющее неравенству $$[\sqrt{n-2} + 2\sqrt{n+2}] < [\sqrt{9n+6}]?$$ (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

Дана треугольная пирамида $SABC$, основание которой – равносторонний треугольник $ABC$, а все плоские углы при вершине $S$ равны $\alpha$. При каком наименьшем $\alpha$ можно утверждать, что эта пирамида правильная?