Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс»

У Васи есть неограниченный запас брусков 1×1×3 и уголков из трёх кубиков 1×1×1. Вася целиком заполнил ими коробку <i>m×n×k</i>, где $m, n, k$ – целые числа, большие 1. Докажите, что можно было обойтись лишь уголками.

Даны целые числа $a_{1}, ..., a_{1000}$. По кругу записаны их квадраты $a_{1}^2, ..., a_{1000}^2$. Сумма каждых 41 подряд идущих квадратов на круге делится на $41^2$.

Верно ли, что каждое из чисел $a_{1}, ..., a_{1000}$ делится на 41?

В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят ровно три фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке?

Дана окружность ω с центром $O$ и две её различные точки $A$ и $C$. Для любой другой точки $P$ на ω отметим середины $X$ и $Y$ отрезков $AP$ и $CP$ и построим точку $H$ пересечения высот треугольника $OXY$. Докажите, что положение точки $H$ не зависит от выбора точки $P$.

Фокусник выкладывает в ряд колоду из 52 карт и объявляет, что 51 из них будут выкинуты со стола, а останется тройка треф. Зритель на каждом шаге говорит, какую по счёту с края карту надо выкинуть, а фокусник выбирает, с левого или с правого края считать, и выкидывает соответствующую карту. При каких начальных положениях тройки треф можно гарантировать успех фокуса?